Question

已知函数f（x）=cosx•sin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式T=

2π

|ω|

求出此函数的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出2x-

π

3

的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

cos2x+

3

4

=

1

2

sinx•cosx-

3

2

cos2x+

3

4

          
=

1

4

sin2x-

3

4

(1+cos2x)+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x
=

1

2

sin(2x-

π

3

)
所以，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=

1

2

sin(2x-

π

3

)，
由x∈[-

π

4

，

π

4

]得，2x∈[-

π

2

，

π

2

]，则2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，
∴当2x-

π

3

=-

π

2

时，即sin(2x-

π

3

)=-1时，函数f（x）取到最小值是：-

1

2

，
当2x-

π

3

=

π

6

时，即sin(2x-

π

3

)=

1

2

时，f（x）取到最大值是：

1

4

，
所以，所求的最大值为

1

4

，最小值为-

1

2

．

点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式T=

2π

|ω|

应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．