Question

函数f（x）=ln（x+1）-

ax

x+a

（a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a₁=1，a_n+1=ln（a_n+1），证明：

2

n+2

＜a_n≤

3

n+2

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,数学归纳法

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；
（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=

x[x-(a2-2a)]

(x+1)(x+a)2

，
①当1＜a＜2时，若x∈（-1，a²-2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（-1，a²-2a）上是增函数，
若x∈（a²-2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a²-2a，0）上是减函数，
若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②当a=2时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数，
③当a＞2时，若x∈（-1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（-1，0）上是增函数，
若x∈（0，a²-2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a²-2a）上是减函数，
若x∈（a²-2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a²-2a，+∞）上是增函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞

2x

x+2

，（x＞0），
又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，
当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜

3x

x+2

，
下面用数学归纳法进行证明

2

n+2

＜a_n≤

3

n+2

成立，
①当n=1时，由已知

2

3

＜a1=1，故结论成立．
②假设当n=k时结论成立，即

2

k+2

＜ak≤

3

k+2

，
则当n=k+1时，a_n+1=ln（a_n+1）＞ln（

2

k+2

+1）＞

2× 2 k+2

2 k+2 +2

=

2

k+3

，
a_n+1=ln（a_n+1）＜ln（

3

k+2

+1）＜

3× 3 k+2

3 k+2 +3

=

3

k+3

，
即当n=k+1时，

2

k+3

＜ak+1≤

3

k+3

成立，
综上由①②可知，对任何n∈N^•结论都成立．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．