Question

今年暑假期间有一个自驾游车队，组织车友前往青海游玩．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的速度不能超过20m/s），匀速通过该隧道，设车队速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离，当12＜x≤20时，相邻两车之间保持(

1

6

x2+

1

3

x)m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为
y（s）．
（Ⅰ）将y表示成x的函数；
（Ⅱ）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,函数的最值及其几何意义

专题：应用题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持(

1

6

x2+

1

3

x)m的距离，可得分段函数；
（Ⅱ）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）当0＜x≤12时，y=

2725+5×31+20×(31-1)

x

=

3480

x

；      …2分
当12＜x≤20时，y=

2725+5×31+( 1 6 x2+ 1 3 x)×(31-1)

x

=

5x2+10x+2880

x

=5x+

2880

x

+10；…4分
∴所求函数解析式为y=

3480 x ，&(0＜x≤12) 5x+ 2880 x +10，&(12＜x≤20)

．               …6分
（Ⅱ）当0＜x≤12时，由于函数单调递减，所以在x=12m/s时，ymin=

3490

12

=290（s）；…8分
当12＜x≤20时，y=5x+

2880

x

+10≥2

5x• 2880 x

+10=250（s），
其中等号当且仅当5x=

2880

x

即x=24时成立．
但24∉（12，20]，且当12＜x≤20时，y′=5-

2880

x2

=

5x2-2880

x2

＜0，
所以函数在（12，20]上也单调递减，从而，当x=20时，y_min=254（s）   …12分
因290＞254，所以y_min=254（s）．
答：当车队速度为20m/s时，车队通过隧道时间最小，最小时间为254s．       …13分．

点评：本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．