Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，已知∠EAD=∠PCA，证明：
（1）AD=AB；
（2）DA²=DC•BP．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）连结BD，由弦切角定理得∠EAD=∠ABD=∠PCA，由此能证明AD=AB．
（2）由已知得∠ADC=∠ABP，∠PAB=∠ACD，从而△ACD∽△APB，由此能证明DA²=DC•BP．

解答： 证明：（1）连结BD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，∠EAD=∠PCA，
∴∠EAD=∠ABD=∠PCA，
∴AD=AB．
（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，∠EAD=∠PCA，
∴∠ADC=∠ABP，∠PAB=∠ACD，
∴△ACD∽△APB，
∴

AD

BP

=

CD

AB

，又AD=AB，
∴DA²=DC•BP．

点评：本题考查线段长相等的证明，考查DA²=DC•BP的证明，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．