Question

已知向量

a

⊥

b

，

c

在

a

，

b

上的投影分别是1与2，且|

c

|=

10

，则

c

与

a

+

b

所成夹角等于

 

．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：空间向量及应用

分析：易得

c

与

a

+

b

所成夹角即

c

与

a

，

b

所在平面的夹角θ，由最小角定理可得答案．

解答： 解：∵

c

与

a

+

b

所成夹角即

c

与

a

，

b

所在平面的夹角θ，
∵

c

在

a

，

b

上的投影分别是1与2，
∴cosθ₁=

2

10

，cosθ₂=

1

10

，
由最小角定理可得cosθ₁=cosθ•cosθ₃，cosθ₂=cosθ•cosθ₄，
∴cosθ=

cosθ1

cosθ3

，cosθ=

cosθ2

cosθ4

，θ₃+θ₄=

π

2

，
∴

2

10

sinθ3=

1

10

cosθ3，∴cosθ₃=2sinθ₃，
∴sinθ₃=

5

5

，cosθ₃=

2 5

5

，
∴cosθ=

2 10

2 5 5

=

2

2

，∴

c

与

a

+

b

所成夹角最小值为45°，
故答案为：45°

点评：本题考查数量积与向量的夹角，涉及最小角定理以及投影的应用，属中档题．