Question

已知函数f（x）=x²-2x+k
（Ⅰ）若方程f（x）=1-x在（-∞，1]上有两个不等的实根，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，当a+b≤2时，使得函数f（x）=x²-2x+k在定义域[a，b]上的值域恰为[a，b]？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）化简得出x²-x+k=0，令g（x）=x²-x，（-∞，1]，t（x）=1-k，运用图象求解即可．
（Ⅱ）假设存在实数k，当a+b≤2时，使函数f（x）在定义域[a，b]上的值域恰为[a，b]，根据二次函数的单调性，建立方程关系即可得到结论

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-2x+k，f（x）=1-x，
∴x²-2x+k=1-x，
即x²-x+k-1=0，
令g（x）=x²-x，（-∞，1]，t（x）=1-k，

f（

1

2

）=-

1

4

，
根据图象可得出；-

1

4

＜1-k≤0时，即1≤k＜

5

4

，
方程f（x）=1-x在（-∞，1]上有两个不等的实根，
（Ⅱ）①若a＜b≤1，在[a，b]上单调递减，
则

b=k-2a+a2，① a=k-2b+b2，②

，①减②得：a+b=1，即b=1-a，
∴

1-a=k-2a+a2，(3) 1-b=k-2b+b2，(4)

，即

k-1-a+a2=0，(5) k-1-b+b2=0，(6)

，
∴方程k-1-x-x²=0在x≤1上有两个不同的解，此时k∈[1，

5

4

）
②若a≤1≤b且1-a≥b-1，a+b≤2
在[a，b]上不单调时，
a=f（x）_min=f（1）=k-1，b=k-2a+a²，b≤2-a
b=k-2a+a²≤a+1-2a+a²≤2-a，
∴a∈[-1，0]，
∴k∈[0，1]
综上得：k∈[0，

5

4

）．

点评：本题考查方程根的存在问题，解题的关键是对于所给的函数式的分离参数，写出要求的参数转化为函数，再利用函数的图象解决．还考查函数与方程的综合运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．