Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=

3

，EF=2．
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）EF⊥平面DCE；
（3）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，证明AE平行平面DCF内的直线DG，即可证明AE∥平面DCF；
（2）证明EF垂直于平面DCE中的两条相交直线，即可得出结论；
（3）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，说明∠AHB为二面角A-EF-C的平面角，通过二面角A-EF-C的大小为60°，求出AB即可．

解答： （1）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形．
又ABCD为矩形，
所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．
因为AE?平面DCF，DG?平面DCF，所以AE∥平面DCF．
（2）证明：因为∠CEF=90°，所以EF⊥CE，
因为矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，
所以DC⊥平面BEFC，
所以DC⊥EF，
因为DC∩CE=C，
所以EF⊥平面DCE；
（3）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，
从而AH⊥EF，
所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角．
在Rt△EFG中，因为EG=AD=

3

，EF=2，所以∠CFE=60°，FG=1．
又因为CE⊥EF，所以CF=4，
从而BE=CG=3．
于是BH=BE•sin∠BEH=

3 3

2

．
因为AB=BH•tan∠AHB，
所以当AB=

9

2

时，二面角A-EF-G的大小为60°．

点评：本题主要考查空间线面平行于垂直，考查二面角A-EF-G的大小等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．