Question

14．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM=$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，tan∠AMC=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若角∠BAC=$\frac{π}{6}$，BC边上的中线AM的长为$\sqrt{21}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角形的性质和内角和的定理，转化为和与差公式求解即可．
（Ⅱ）利用余弦定理求解出BM，即可求解△ABC的面积

解答 解：（Ⅰ）由$cos∠BAM=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，
得：$sin∠BAM=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$，
∴$tan∠BAM=\frac{{\sqrt{3}}}{5}$．
又∠AMC=∠BAM+∠B，
∴$tanB=tan（∠AMC-∠BAM）=\frac{tan∠AMC-tan∠BAM}{1+tan∠AMCtan∠BAM}$=$\frac{{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{5}}}{{1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{5}}}=-\sqrt{3}$；
又B∈（0，π），
∴$B=\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$B=\frac{2π}{3}$．角∠BAC=$\frac{π}{6}$，
∴C=$\frac{π}{6}$．
则AB=BC．
设MB=x，
则AB=2x．
在△ABM中由余弦定理，得AM²=AB²+MB²-2AB•BMcosB，即7x²=21．
解得：$x=\sqrt{3}$．
故得△ABC的面积${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×4{x^2}×sin\frac{2π}{3}=3\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的性质的运用和余弦定理的计算．属于基础题．