Question

2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=3，$AD=2\sqrt{2}$，∠ABC=45°，P点在底面ABCD内的射影E在线段AB上，且PE=2，BE=2EA，M在线段CD上，且$CM=\frac{2}{3}CD$． 
（Ⅰ）证明：CE⊥平面PAB；
（Ⅱ）在线段AD上确定一点F，使得平面PMF⊥平面PAB，并求三棱锥P-AFM的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理得EC=2，从而BE⊥EC，由PE⊥平面ABCD，得PE⊥EC，由此能证明CE⊥平面PAB．
（Ⅱ）取F是AD的中点，作AN∥EC交CD于点N，则AN∥EC．推导出FM∥EC，从而平面PFM⊥平面PAB，由此能求出三棱锥P-AFM的体积．

解答 证明：（Ⅰ）在△BCE中，BE=2，$BC=2\sqrt{2}$，∠ABC=45°，由余弦定理得EC=2．
所以BE²+EC²=BC²，从而有BE⊥EC．…（2分）
由PE⊥平面ABCD，得PE⊥EC．…（4分）
所以CE⊥平面PAB．…（5分）
解：（Ⅱ）取F是AD的中点，作AN∥EC交CD于点N，
则四边形AECN为平行四边形，CN=AE=1，则AN∥EC．
在△AND中，F，M分别是AD，DN的中点，则FM∥AN，所以FM∥EC．
因为CE⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB．
又FM?平面PFM，所以平面PFM⊥平面PAB．…（9分）
${S_{△AFM}}=\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\frac{1}{3}•3•sin{45°}=\frac{1}{2}$．…（10分）
V=$\frac{1}{3}{S_{△AFM}}•PE=\frac{1}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．