Question

5．设函数$f（x）=mlnx+\frac{n}{x}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）求实数m，n的值；
（2）若b＞a＞1，$A=f（\frac{a+b}{2}）$，$B=\frac{bf（b）-af（a）}{b-a}-1$，试判断A，B两者是否有确定的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，根据导函数的意义和切线方程的概念求出参数m，n的值即可；
（2）利用作差的方法：A，B关系易判断；构造函数，通过导函数判断函数的单调性，进而得出结论．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{m}{x}$-$\frac{n}{{x}^{2}}$，
由于 $\left\{\begin{array}{l}{f（1）=n=0}\\{f′（1）=m-n=1}\end{array}\right.$，
所以m=1，n=0．
（2）判断A＞B．
∵$A-B=ln\frac{a+b}{2}-$$（{\frac{bf（b）-af（a）}{b-a}-1}）$=$\frac{1}{b-a}[{（{b-a}）ln\frac{a+b}{2}-blnb+alna+b-a}]$
设函数$g（x）=（{x-a}）ln\frac{x+a}{2}-xlnx+alna+x-a$，x∈（0，+∞）
则$g'（x）=ln\frac{x+a}{2x}+\frac{x-a}{x+a}$，$g''（x）=\frac{{a（{x-a}）}}{{x{{（{x+a}）}^2}}}$，
当x＞a时，$g''（x）=\frac{{a（{x-a}）}}{{x{{（{x+a}）}^2}}}＞0，所以g'（x）在（{a，+∞}）单调递增$．
又g'（x）＞g'（a）=0，因此g（x）在（a，+∞）单调递增
又b＞a，所以g（b）＞g（a）=0，即A-B＞0，故A＞B．

点评 本题主要考查了函数的构造和利用导函数判断函数的单调性，难点是对题意的转化和函数的构造．