Question

4．在极坐标系中，已知直线l的方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲线C的方程为ρ=4sinθ，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 直线l的直角坐标方程为x-y+1=0，曲线C的直角方程为x²+（y-2）²=4，由此能求出线段AB的长．

解答 解：∵直线l的方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$ρsinθcos\frac{π}{4}$-$ρcosθsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即ρsinθ-ρcosθ=1，
∴直线l的直角坐标方程为x-y+1=0，
∵曲线C的方程为ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，
∴曲线C的直角方程为x²+y²=4y，即x²+（y-2）²=4，
∴曲线C是以C（0，2）为原点，2为半径的圆，
∵圆心C（0，2）到直线x-y+1=0的距离d=$\frac{|0-2+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由勾股定理得线段AB的长：
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{14}$．

点评 本题考查直线与圆的弦长的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．