Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）把三个点的坐标代入解析式，解方程组求得a、b、c，即可得抛物线的函数关系式；
（2）根据抛物线的对称性，PA+PC=PB+PC，当P在直线BC上时△PAC的周长PA+PC+AC最小，求出直线BC与对称轴的交点坐标，即得P的坐标；
（3）设M（1，m），△MAC为等腰三角形，分①MA=MC；②MA=AC；③MC=AC，讨论求解．

解答： 解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c中，得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴抛物线的解析式：y=-x²+2x+3．
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
根据抛物线的对称性，PA+PC=PB+PC，当P在直线BC上时△PAC的周长PA+PC+AC最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

3k+b=0 b=3

，解得：

k=-1 b=3

∴直线BC的函数关系式y=-x+3；当x=1时，y=2，
即P的坐标（1，2）．
（3）抛物线的解析式为：x=-

b

2a

=1，
设M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），则：
MA²=m²+4，MC²=m²-6m+10，AC²=10；
①若MA=MC，则MA²=MC²，得：m²+4=m²-6m+10，得：m=1；
②若MA=AC，则MA²=AC²，得：m²+4=10，得：m=±

6

；
③若MC=AC，则MC²=AC²，得：m²-6m+10=10，得：m=0，m=6；当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，

6

），（1，-

6

），（1，1），（1，0）．

点评：本题考查了函数解析式的求法，二次函数的图象性质，体现了数形结合思想与分类讨论思想．