Question

正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积．

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：计算题,球

分析：由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设外接球半径为R，利用三角形相似求出R的值r的值，可求外接球的表面积以及内切球的表面积．

解答： 解：设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为O₁，O₂，连结AO₂与BO₁并延长，必交于CD的中点E，
又BE=

3

2

a，O₂E=

3

6

a，连接BO₂，在Rt△BO₂E中，BO₂=

6

3

，连结AO₁与BO₂交于O₃，
由Rt△AO₂O₃≌Rt△BO₁O₂，
∴O₃O₂=O₃O₁，O₃A=O₃B，
同理可证O₃C=O₃D=O₃A，O₃到另二面的距离也等O₃O₁，
∴O₃为四面体外接球与内接球的球心，由△BO₁O₃∽△BO₂E，
∴O₁O₃=

6

12

a，
∴R_外=

6

4

a，S_外=

3

2

πa2，r_内=

6

12

a，S_内=

1

6

πa2．

点评：本题考查球的内接多面体的知识，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．