Question

15．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，E、F分别是棱DD₁、C₁D₁的中点．
（1）求三棱锥B₁-A₁BE的体积；
（2）试判断直线B₁F与平面A₁BE是否平行，如果平行，请在平面A₁BE上作出与B₁F平行的直线，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）三棱锥B₁-A₁BE的体积${V_{{B_1}-{A_1}BE}}={V_{E-{A_1}{B_1}B}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}{B_1}B}}•DA$，由此能求出结果．
（2）B₁F∥平面A₁BE，延长A₁E交AD延长线于H，连BH交CD于G点，则BG就是在平面A₁BE上与B₁F平行的直线．

解答 解：（1）如图所示，
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，E、F分别是棱DD₁、C₁D₁的中点．
∴三棱锥B₁-A₁BE的体积：
${V_{{B_1}-{A_1}BE}}={V_{E-{A_1}{B_1}B}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}{B_1}B}}•DA=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2•2=\frac{4}{3}$．
（2）B₁F∥平面A₁BE．
延长A₁E交AD延长线于H，连BH交CD于G点，
则BG就是在平面A₁BE上与B₁F平行的直线．
证明如下：
因为BA₁∥平面CDD₁C₁，平面A₁BH∩平面CDD₁C₁=GE，
所以A₁B∥GE，又A₁B∥CD₁，则G为CD的中点，
故BG∥B₁F，BG就是在平面A₁BE上与B₁F平行的直线．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面是否平行的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．