Question

4．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{2}，AC=\sqrt{2}，∠BAC={60°}$，则此球的体积等于（　　）

• A． $\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$
• B． $\frac{9π}{2}$
• C． $\frac{{5\sqrt{10}π}}{3}$
• D． $\frac{{4\sqrt{3}π}}{3}$

Answer 1

分析 画出球的内接三棱柱ABC-A₁B₁C₁，作出球的半径，然后可求球的表面积．

解答 解：设AA₁=h，则
∵棱柱的体积为$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{2}，AC=\sqrt{2}，∠BAC={60°}$，
∴$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}h=\sqrt{3}$
∴h=1，
∵AB=2$\sqrt{2}，AC=\sqrt{2}，∠BAC={60°}$，
∴BC=$\sqrt{8+2-2×2\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$，
如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，
AP=$\frac{\sqrt{6}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{2}$
则球的半径为OA，
由题意OP=$\frac{1}{2}$，∴OA=$\sqrt{\frac{1}{4}+2}$=$\frac{3}{2}$，
所以球的体积为：$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{9}{2}$π
故选B．

点评 本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．