Question

3．已知a＞0，${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$展开式的常数项为15，则$\int_{-a}^a{（\sqrt{1-{x^2}}+sin2x）dx}$=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根据二项式定理计算a，再根据定积分的几何意义和性质计算即可．

解答 解：∵${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$展开式的常数项为15，∴C${\;}_{6}^{2}$（$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁴x²=15，
∴a⁴=1，又a＞0，∴a=1．
∵y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$表示半径为1的上半圆，y=sin2x是奇函数，
∴${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$=$\frac{π}{2}$，${∫}_{-1}^{1}sin2xdx$=0，
∴$\int_{-a}^a{（\sqrt{1-{x^2}}+sin2x）dx}$=$\frac{π}{2}+0$=$\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了二项式定理，定积分的计算，属于中档题．