Question

已知圆C：（x+4）²+y²=4，圆D的圆心在y轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A、B两点（点A在点B上方）
（Ⅰ）圆D的圆心在什么位置时，圆D与x轴相切；
（Ⅱ）在x轴正半轴上求点P，当圆心D在y轴的任意位置时，直线AP与直线BP的夹角为定值，并求此常数．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（I）设D（0，a），则由题意可得

42+a2

=2+|a|，解方程，可得a的值，从而可得D的坐标．
（Ⅱ）假设存在点P（x，0），根据直线AP与直线BP的夹角为定值，我们构造关于x的方程，若方程有解，则存在这样的点，若方程无实根，则不存在这样的点．

解答： 解：（I）设D（0，a），则
∵圆D与x轴相切，∴圆D半径r=|a|．
又∵圆D与圆C外切，∴

42+a2

=2+|a|，
∴16+a²=4+4|a|+a²，
∴|a|=3，即a=±3．
∴当D在（0，3）或（0，-3）时，圆D与x轴相切；
（Ⅱ）证明：假设存在点P（x，0），x＞0，圆D的方程为x²+（y-a）²=r²．
当D在y轴上运动时，令D（0，t），|CD|=

t2+16

，
圆D的半径R=

t2+16

-2，A（0，t+R），B（0，t-R），
∵∠APB=∠APC-∠BPC，
∴tan∠APB=

2rx

x2+t2-r2

=

2x t2+16 -4x

4 t2+16 +x2-20

为常数
∴

2x

4

=

-4x

x2-20

，
∵x＞0，
∴x=2

3

，
∴存在满足题意的点P的坐标为（2

3

，0），直线AP与直线BP的夹角为

π

3

．

点评：本题重点考查直线和圆的方程的应用，考查直线的倾斜角与斜率，考查存在性问题，有综合性．