Question

如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=2，

AD

•

AB

=

1

3

|

AB

|²
（Ⅰ）求∠BAD的大小；
（Ⅱ）若E为BC边上的中点，F为平行四边形内（包括边界）的一动点，求

AE

•

AF

的最大值．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）根据向量数量积的定义，结合题中数据算出cos∠BAD=

1

2

，从而可得∠BAD的大小；
（Ⅱ）作出如图所求直角坐标系，算出E、C两点的坐标，设F（x，y），利用向量数量积的坐标运算，可得当x=4且y=

3

时，

AE

•

AF

的最大值为

31

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵

AD

•

AB

=

1

3

|

AB

|²，
∴

|AD|

•

|AB|

cos∠BAD=

1

3

×32=3，即2×3×cos∠BAD=3，
解得cos∠BAD=

1

2

结合∠BAD∈[0，π]，可得∠BAD=

π

3

；
（Ⅱ）以AB所在直线为x轴，A为原点建立如图所示直角坐标系，
则E（

7

2

，

3

2

），C（4，

3

）
设F（x，y），根据题意可得x≤4，y≤

3

∴

AE

•

AF

=

7

2

x+

3

2

y≤

7

2

×4+

3

2

×

3

=

31

2

．
即

AE

•

AF

的最大值等于

31

2

．

点评：本题给出平行四边形中的向量满足的条件，求∠BAD的大小，并依此求向量数量积的最值．着重考查了平面向量数量积的定义、运算运算法则等知识，属于中档题．