Question

在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，在锐角△PAD中PA=PD，并且BD=2AD=8，AB=2DC=4

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（1）点M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）若PA与平面PBD成角60°，当面MBD⊥平面ABCD时，求点M到平面ABCD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：法一：（1）通过证明平面MBD内的直线BD，垂直平面PAD内的两条相交直线，证明直线与平面垂直然后证明两个平面垂直．
（2）PA与平面PBD成角60°，面MBD⊥平面ABCD时，做PF⊥AD于F，PF∥MN，然后求点M到平面ABCD的距离．
法二：（1）同法一；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可．

解答： 解：法一（1）∵BD=2AD=8，AB=4

5

，由勾股定理得BD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊆面ABCD，
∴BD⊥平面PADBD⊆面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD…（6分）
（2）如图，∵BD⊥平面PAD，∴平面PBD⊥平面PAD，∴∠APD=60°，
做PF⊥AD于F，∴PF⊥面ABCD，PF=2

3

，
设面PFC∩面MBD=MN，面MBD⊥平面ABCD∴面PF∥面MBD，∴PF∥MN，
取DB中点Q，得CDFQ为平行四边形，由平面ABCD边长得N为FC中点，
∴MN=

1

2

PF=

3

…（12分）
法二（1）同一
（2）在平面PAD过D做AD垂线为z轴，由（1），以D为原点，DA，DB为x，y轴建立空间直角坐标系，
设平面PBD法向量为

u

=(x，y，z)，设P（2，0，a），
锐角△PAD，AD=4
∴a＞2，
由

u

•

DP

=0，

u

•

DB

=0，
解得

u

=(-a，0，2)，

PA

=(2，0，-a)，|cos＜

PA

，

u

＞|=

4a

a2+4

=

3

2

，
解得a=2

3

或a=

2 3

3

＜2（舍）
设

PM

=λ

PC

，解得M(2-4λ，4λ，2

3

-2

3

λ)
∵面MBD⊥平面ABCD，AD⊥BD，
∴面MBD法向量为

DA

=(0，0，4)，∴

DA

•

DM

=0，解得λ=

1

2

，
∴M到平面ABD的距离为竖坐标

3

．        …（12分）

点评：本题考查两个平面垂直的判断，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．