Question

已知函数f（x）=x²+2x+1，若存在实数t，使得不等式f（x+t）≤x对任意的x∈[1，m]（m＞1）恒成立，则实数m的最大值为

 

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Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由当x∈[1，m]时，f（x+t）≤x恒成立，即g（x）=f（x+t）-x≤0恒成立，则需满足g（1）≤0且g（m）≤0，解出t的范围，讨论m的取值即可得到m的最大值．

解答： 解：设g（x）=f（x+t）-x=x²+（2t+1）x+（1+t）²，
由题意f（x+t）-x≤0对任意的x∈[1，m]（m＞1）恒成立，
即g（1）≤0且g（m）≤0．
由g（1）≤0，得t∈[-3，-1]，
由g（m）≤0，得m²+（2t+1）m+（t+1）²≤0，
则当t=-1时，得到m²-m≤0，解得0≤m≤1；
当t=-3时，得到m²-5m+4≤0，解得1≤m≤4．
综上得到：m∈[1，4]，
∴m的最大值为4．
故答案为：4．

点评：本题考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，体现了数学转化思想方法，训练了灵活运用二次函数求最值的方法的能力，是中档题．