题目内容
已知二次函数f（x）=ax2-2x+a（a≠0）
（1）当a=-1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．
（1）当a=-1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．
考点：二次函数的性质
专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；（2）不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即a≥
对x∈（0，+∞）恒成立，运用基本不等式求出右边的最大值，即可得到取值范围．
| 2x |
| x2+1 |
解答：
解：（1）当a=-1时，不等式为-x2-2x-1＜0，
即（x+1）2＞0，所以x≠-1，
所以所求不等式的解集为{x|x≠-1}；
（2）不等式为：ax2-2x+a≥0，即a≥
，
因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，
所以a≥(
)max，
因为
=
≤1，当且仅当x=1取最大值1．
所以a的取值范围为a≥1．
即（x+1）2＞0，所以x≠-1，
所以所求不等式的解集为{x|x≠-1}；
（2）不等式为：ax2-2x+a≥0，即a≥
| 2x |
| x2+1 |
因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，
所以a≥(
| 2x |
| x2+1 |
因为
| 2x |
| x2+1 |
| 2 | ||
x+
|
所以a的取值范围为a≥1．
点评：本题考查二次函数的性质和运用，考查二次不等式的解法和不等式恒成立问题，转化为求函数最值问题，注意运用基本不等式，属于中档题．
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