Question

已知函数f（x）=x²-2ax+4
（1）当a=

1

2

时，求函数y=f（x），x∈[0，2]的最大值及最小值
（2）若对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立，求a的取值围
（3）若f（x）对a∈[-

5

2

，0]中的每一个数a，都有f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数的对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的最值；
（2）通过讨论a的范围，得到不等式，综合解出即可；
（3）将问题转化为解不等式x²+5x+4＞0，解出即可．

解答： 解：（1）a=

1

2

时，f（x）=x²-x+4，对称轴x=

1

2

，
∴函数f（x）在[0，

1

2

）递减，在（

1

2

，2]递增，
∴f(x)min=

15

4

，f(x)max=6；
（2）ymax=

8-4a，a＜1 4，a≥1

ymin=

4，a≤0 -a2+4，0＜a＜2 8-4a，a≥2

，
对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立，即y_max-y_min＜4，
（i）a≤0时，8-4a-4＜4∴a＞0不合题意，
（ii）0＜a＜1时，8-4a-（-a²+4）＜4，0＜a＜4∴0＜a＜1，
（iii）1≤a≤2时，4-（-a²+4）＜4∴-2＜a＜2∴1≤a＜2，
（iv）a≥2时，4-（8-4a）＜4∴a＜2不合题意，
综上：0＜a＜2；
（3）由f（x）＞0，得：x²+4＞2ax，
a=-

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2

时，得：x²+5x+4＞0，解得：x＞-1或x＜-4，
故x的范围是：（-∞，-4）∪（-1，+∞）．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了转化思想，是一道中档题．