Question

【题目】设椭圆C： + =1（a＞b＞0）过点（2，0），离心率为 ．
（1）求C的方程；
（2）过点（1，0）且斜率为1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AB的中点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆C： + =1（a＞b＞0）可知：焦点在x轴上，过（2，0），

∴a=2，

由离心率e= = = ，解得：b2=3，

∴椭圆的标准方程为： ；

（2）解：由题意可知：直线方程为y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），

∴ ，整理得：7x2﹣8x﹣8=0，

由韦达定理可知：x1+x2= ，

y1+y2=x1﹣1+x2﹣1=﹣ ，

由中点坐标公式可知x= = ，y= =﹣ ，

∴AB的中点M的坐标（ ，﹣ ）．

【解析】（1）由椭圆方程可知焦点在x轴上，因此（2，0）为椭圆的右顶点，则a=2，由椭圆的离心率公式可知，e= = = ，即可求得b的值，即可求得C的方程；（2）设直线l的方程y=x﹣1，代入椭圆方程，由韦达定理及直线方程求得x1+x2 ， y1+y2 ， 根据中点坐标公式，求得AB的中点M的坐标．