Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，过右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，当l与x轴垂直时，AB长为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．   
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上存在一点P，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由c=1，丨AB丨=$\frac{{2b}^{2}}{a}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，a²=b²+c²，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算，即可求得直线l的斜率．

解答 解：（1）由题意可知2c=2，c=1，
当l与x轴垂直时，丨AB丨=$\frac{{2b}^{2}}{a}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，…（2分）
由a²=b²+c²，则a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
故椭圆的标准方程是：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；…（4分）
（2）设直线l的斜率为k，则直线l的方程：y=k（x-1），设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$可得（3k²+2）x²-6k²x+3k²-6=0，…（6分）
则x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-6}{3{k}^{2}+2}$．（*）
因$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}={x}_{1}+{x}_{2}}\\{{y}_{3}={y}_{1}+{y}_{2}}\end{array}\right.$，代入椭圆方程$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{3}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{2}$=1，
又$\frac{{x}_{1}^{2}}{3}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{3}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}=1$，化简得2x₁x₂+3y₁y₂+3=0，即（3k²+2）x₁x₂-3k²（x₁+x₂）+3k²+3=0，…（10分）
将（*）代入得
3k²-6-$\frac{3{k}^{2}×6{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$+3k²+3=0，k²=2，即k=±$\sqrt{2}$，
故直线l的斜率为±$\sqrt{2}$．…（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与椭圆等基础知识，考查分析问题及运算求解能力，属于中档题．