Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$a{cos^2}\frac{B}{2}+b{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{3}{2}c，a=2b$．
（1）证明：△ABC为钝角三角形；
（2）若△ABC的面积为$3\sqrt{15}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，又a=2b，利用余弦定理可求cosA＜0，可得A为钝角，即可得解．
（2）由同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式可求bc=24．又$c=\frac{3}{2}b$，进而可求b的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）证明：由正弦定理：$sinA\;•\;\frac{1+cosB}{2}+sinB\;•\;\frac{1+cosA}{2}=\frac{3}{2}sinC$，
∴sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=3sinC，
∴sinA+sinB+sin（A+B）=3sinC．
又∵sin（A+B）=sinC，
∴sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，a=2b，
所以$c=\frac{3}{2}b$，所以$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{{b^2}+\frac{9}{4}{b^2}-4{b^2}}}{{2b\;•\;\frac{3}{2}b}}=-\frac{1}{4}＜0$，
所以A为钝角，故△ABC为钝角三角形．   …（6分）
（2）解：因为$cosA=-\frac{1}{4}$，
∴$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．
又${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA$，
∴$3\sqrt{15}=\frac{1}{2}bc\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴bc=24．
又$c=\frac{3}{2}b$，
所以$\frac{3}{2}{b^2}=24$，
∴b=4．     …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．