题目内容
14．三棱锥M-ABC的三侧棱两两垂直，底面ABC内一点N到三个侧面的距离分别为$2\sqrt{2}，4，5$，则经过点M和N的所有球中，体积最小的球的表面积为49π．分析 根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为2$\sqrt{2}$、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，此时过点P和Q的所有球中，表面积最小的球，即可求解
解答 解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为2$\sqrt{2}$、4、5的长方体，内部图形如图．
则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线，过点P和Q的所有球中，此时外接球的表面积最小，
此时，长方体对角线即为球的直径，∴2R=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=7$、
由球的表面积公式得：S=4πR2=49π，
故答案为：49π．
点评 本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系．判断长方体的对角线是过P和Q的所有球中，最小的球是解题的关键．属于中档题
练习册系列答案
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20．
如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为$\frac{1}{2}$，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{BC}$，其中x，y∈R，则4x-y的最大值为（ ）
如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为$\frac{1}{2}$，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{BC}$，其中x，y∈R，则4x-y的最大值为（ ）| A． | $3-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$ | B． | $3+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | C． | 2 | D． | $3+\;\frac{{\sqrt{17}}}{2}$ |
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2$\sqrt{3}$，AA1=$\sqrt{3}$，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E，
9．已知函数$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）+ω（ω＞0）$的部分图象如图所示，则下列选项判断错误的是（ ）
| A． | |MN|=π | B． | $f（\frac{7π}{3}）=2$ | C． | $f（x）+f（-x-\frac{π}{3}）=1$ | D． | $f（\frac{π}{3}-x）=f（\frac{π}{3}+x）$ |
19．已知A，B，C不共线，对空间任意一点O，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+（$\frac{1}{4}$-λ）$\overrightarrow{OB}$+（λ+$\frac{1}{4}$）$\overrightarrow{OC}$成立，则“λ=1”是“P，A，B，C四点共面”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既非充分也非必要条件 |
6．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，G是△ABC的三条边上中线的交点，若$\overrightarrow{GA}+（a+b）\overrightarrow{GB}+2c\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow 0$，且$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$≥m+c恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
| A． | $（-∞，\frac{17}{2}]$ | B． | $（-∞，\frac{13}{2}]$ | C． | $[\frac{13}{2}，+∞）$ | D． | $[\frac{17}{2}，+∞）$ |
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，过右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，当l与x轴垂直时，AB长为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
4．已知集合M={x|y=ln（x2-3x-4）}，N={y|y=2x-1}，则M∩N等于（ ）
| A． | {x|x＞4} | B． | {x|x＞0} | C． | {x|x＜-1} | D． | {x|x＞4或x＜-1} |