Question

甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校2014年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为

1

2

，

3

5

，

2

5

，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为

3

5

，

1

2

，

3

4

．
（Ⅰ）求甲，乙，丙三人中只有一人获得自主招生入选资格的概率；
（Ⅱ）设甲，乙，丙三人中材料审核过关的人数为随机变量X，求X的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（I）设甲，乙，丙三人获得自主招生入选资格的概率分别为P（A）、P（B）、P（C），由题意得P(A)=

1

2

×

3

5

=

3

10

，P(B)=

1

2

×

3

5

=

3

10

，P(C)=

2

5

×

3

4

=

3

10

，由此能求出甲，乙，丙三人中只有一人获得自主招生入选资格的概率．
（Ⅱ）X可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： 解：（I）设甲，乙，丙三人获得自主招生入选资格的概率分别为P（A）、P（B）、P（C），
则P(A)=

1

2

×

3

5

=

3

10

，P(B)=

1

2

×

3

5

=

3

10

，P(C)=

2

5

×

3

4

=

3

10

，
所以甲，乙，丙三人中只有一人获得自主招生入选资格的概率：
P=

C

1 3

3

10

(1-

3

10

)2=0.441
（Ⅱ）X可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=(1-

1

2

)(1-

3

5

)(1-

2

5

)=

3

25

，
P(X=1)=

1

2

×

2

5

×

3

5

+

1

2

×

3

5

×

3

5

+

1

2

×

2

5

×

2

5

=

19

50

，
P(X=2)=

1

2

×

3

5

×

2

5

+

1

2

×

2

5

×

2

5

+

1

2

×

3

5

×

3

5

=

19

50

，
P(X=3)=

1

2

×

3

5

×

2

5

=

3

25

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	3 25	19 50	19 50	3 25

EX=0×

3

25

+1×

19

50

+2×

19

50

+3×

6

50

=

3

2

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．