Question

数列{a_n}的通项公式为a_n=2n，n∈N^*，等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₈．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等比数列的通项公式求出公比，由此能求出得数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b₁=2，且数列{b_n}为等比数列，q=2，能求出数列{b_n}的前n项和S_n．
（Ⅲ）由cn=n•2n+1，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知，得b₁=2，b₄=16，
且数列{b_n}为等比数列，
设公比为q，则q3=

b4

b1

=8，…（1分）
解得q=2，…（2分）
则数列{b_n}的通项公式为bn=2n．…（3分）
（Ⅱ）∵b₁=2，且数列{b_n}为等比数列，q=2，
∴Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-1．…（6分）
（Ⅲ）由已知cn=n•2n+1，
所以，Tn=22+2•23+3•24+…+n•2n+1．①…（7分）
2Tn=23+2•24+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2②…（8分）
①-②，得-Tn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2…（10分）
=

4(1-2n)

1-2

-n•2n+2
所以，Tn=(n-1)2n+2+4…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．