Question

如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起到△APM，使得平面APM⊥平面ABCM，点E在线段PB上，且PE=

1

3

PB．
（Ⅰ）求证：AP⊥BM
（Ⅱ）求二面角E-AM-P的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出BM⊥AM，从而得到BM⊥平面APM，由此能证明AP⊥BM．
（Ⅱ）取AM的中点O，AB的中点N，则OA，ON，OP两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AM-P的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵ABCD为长方形，AD=1，AB=2，M为DC的中点，
∴AM=

2

，BM=

2

，AB²=AM²+BM²，∴BM⊥AM，
又∵平面APM⊥平面ABCM，平面APM∩平面ABCM=AM，BM?平面ADM，
∴BM⊥平面APM，
又∵AP?平面APM，∴AP⊥BM．
（Ⅱ）解：取AM的中点O，AB的中点N，则OA，ON，OP两两垂直，
以O为原点建立空间直角坐标系，
则A（

2

2

，0，0），B（-

2

2

，

2

，0），
M（-

2

2

，0，0），P（0，0，

2

2

），N（0，

2

2

，0），
设E（x，y，z），由

PE

=

1

3

PB

，得（x，y，z-

2

2

）=

1

3

(-

2

2

，

2

，-

2

2

)，
∴E（-

2

6

，

2

3

，

2

3

），
由题意

ON

为平面APM的一个法向量，令

ON

=

n

=(0，

2

2

，0)，
设平面AME的一个法向量

m

=(a，b，c)，

AM

=(-

2

，0，0)，

AE

=（-

2 2

3

，

2

3

，

2

3

），
则

m • AM =- 2 a=0 m • AE =- 2 2 3 a+ 2 3 b+ 2 3 c=0

，
取b=1，tj

m

=(0，1，-1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

2

2

，
∴二面角E-AM-P的大小为

π

4

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．