Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²；
（1）求a₂，a₃的值并证明数列{

an

2n

}为等差数列；
（2）b_n=（-1）ⁿ⁺¹

an

2n

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T₅₁及T_n；
（3）令C_n=|

1

bnbn+1

|，M_n=C₁+C₂+…+C_n，求M_n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）依题意，易求a₂=12，a₃=40，

an+1

2n+1

-

an

2n

=2，从而可证{

an

2n

}为公差为2的等差数列；
（2）由（1）知a_n=（2n-1）2ⁿ，从而可得b_n=（-1）ⁿ⁺¹

an

2n

=（-1）ⁿ⁺¹（2n-1），于是可求得T₅₁及T_n；
（3）利用裂项法易得C_n=|

1

bnbn+1

|=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），从而可求得M_n的值．

解答： 解：（1）∵a₁=2，∴a₂=2a₁+2³=12，同理可得a₃=40；
由a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²，得：

an+1

2n+1

-

an

2n

=2，
∴数列{

an

2n

}为公差为2的等差数列，
（2）由（1）知，

an

2n

=1+（n-1）×2=2n-1；
∴a_n=（2n-1）2ⁿ，
b_n=（-1）ⁿ⁺¹

an

2n

=（-1）ⁿ⁺¹（2n-1），
∴T₅₁=b₁+b₂+…+b₅₁=1-3+5-7-…+101=-2×25+101=51，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1-3+5-7-…+（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）=

n，n为奇数 -n，n为偶数

，
（3）C_n=|

1

bnbn+1

|=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
M_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列求和，着重考查等差关系的确定及裂项法求和的应用，考查推理与运算能力，属于难题．