Question

（1）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2

3

．求双曲线C的方程．
（2）设抛物线y²=mx（m≠0）的准线与直线x=-1的距离为2，求抛物线的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,抛物线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2

3

，可得c=2，a=

3

，焦点在x轴上，求出b，即可求双曲线C的方程．
（2）根据抛物线y²=mx写出它的准线方程x=-

m

4

，再根据准线与直线x=-1的距离为2，对m的正负进行讨论，即可求得m的值，进而求得抛物线的方程．

解答： 解：（1）∵中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2

3

，
∴c=2，a=

3

，焦点在x轴上，
∴b=

c2-a2

=1，
∴双曲线C的方程为

x2

3

-y²=1．
（2）当m＞0时，准线方程为x=-

m

4

=-3，∴m=12．此时抛物线方程为y²=12x．
当m＜0时，准线方程为x=-

m

4

=1，∴m=-4．此时抛物线方程为y²=-4x．
综上，所求的抛物线方程为y²=12x或y²=-4x．

点评：此题是个中档题．考查双曲线、抛物线的定义和简单的几何性质，以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．