Question

已知点A（4，4，0），B（3，a，a-2），且|AB|=

3

．
（1）若点C的坐标为（2，2，2），求证：A，B，C三点共线．
（2）若点D的坐标为（5，4，1），试判断△ABD的形状．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,三点共线

专题：空间向量及应用

分析：（1）求出B的坐标，根据向量共线即可证明A，B，C三点共线．
（2）求出三角形的边长，根据余弦定理进行判断即可．

解答： 解：（1）由|AB|=

3

得|AB|=

(4-3)2+(4-a)2+(a-2)2

=

3

．
平方得a²-6a+9=0，
即（a-3）²=0，解得a=3，
故B（3，3，1）．
若点C的坐标为（2，2，2），
则

AB

=（-1，-1，1），

AC

=（-2，-2，2），
满足

AC

=2

AB

，
即

AC

，

AB

共线，则A，B，C三点共线．
（2）∵A（4，4，0），B（3，3，1）．D的坐标为（5，4，1），
∴|AB|=

(4-3)2+(4-3)2+(1-0)2

=

3

，|AD|=

(5-4)2+(4-4)2+(1-0)2

=

1+1

=

2

，
|BD|=

(5-3)2+(4-1)2+(1-1)2

=

4+9

=

13

，
由余弦定理得cos∠BAD=

AB2+AD2-BD2

2AB•AD

=

3+2-13

2 2 • 3

=-

4

6

＜0，
则∠BAD为钝角，即△ABD的形状为钝角三角形．

点评：本题主要考查空间直角坐标系的应用，利用空间两点间的距离公式以及余弦定理是解决本题的关键．