Question

2．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱和六个面的对角线共24条，其中与体对角线AC₁垂直的有6条．

Answer 1

分析 连接AC，能推导出BD、A₁B，A₁D，B₁D₁，B₁D，C₁D都与AC₁垂直．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱中没有与AC1垂直的棱，由此能求出结果．

解答 解：如图，连接AC，则BD⊥AC．
在正方体ABCD-AA₁B₁C₁D₁中，
∵C₁C⊥平面BCD，
BD?平面BCD，
∴C₁C⊥BD，
又AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁，
∵AC₁?平面ACC₁，
∴AC₁⊥BD．
同样A₁B，A₁D，B₁D₁，CD₁，B₁C都与AC₁垂直．
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱中没有与AC₁垂直的棱，
故正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱和六个面的对角线共24条，其中与体对角线AC₁垂直的有6条．
故答案为：6．

点评 本题考查满足垂直条件的直线的条数的求法，考查二面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合、化归与转化思想，是中档题．