Question

10．已知椭圆x²+2y²=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，过椭圆上任意一点P作切线l，记F₁、F₂到l的距离分别为d₁、d₂，则d₁•d₂=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=kx+b，联立方程组，令△=0得出k，b的关系，根据点到直线的距离公式计算d₁•d₂即可得出结论．

解答 解：设直线l的方程为y=kx+b，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=1}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消元的（1+2k²）x²+4kbx+2b²-1=0，
∴△=16k²b²-4（1+2k²）（2b²-1）=0，
∴b²=k²+$\frac{1}{2}$．
∵F₁（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），F₂（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
∴d₁=$\frac{|b-\frac{\sqrt{2}}{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，d₂=$\frac{|b+\frac{\sqrt{2}}{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴d₁d₂=$\frac{|\frac{1}{2}{k}^{2}-{b}^{2}|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{|-\frac{1}{2}{k}^{2}-\frac{1}{2}|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．