Question

12．若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+2y-5≥0\\ x-y+1≥0\\ x+y-5≤0\end{array}\right.$，则z=（x-1）²+（y+1）²的最小值为（　　）

• A． $\frac{53}{4}$
• B． 10
• C． $\frac{36}{5}$
• D． 17

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用x²+y²的几何意义：动点P（x，y）到（1，-1）距离的平方，即可求最小值．

解答 解：设z=（x-1）²+（y+1）²，则z的几何意义为动点P（x，y）到（1，-1）距离的平方．
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知点P到A点的距离最小，即A点到直线x+2y-5=0的距离最小．
由点到直线的距离公式得d=$\frac{|1-2-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
所以z=（x-1）²+（y+1）²的最小值为d²=$\frac{36}{5}$．
故选：C

点评 本题主要考查点到直线的距离公式，以及简单线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决线性规划内容的基本方法，利用数形结合是解决本题的关键．