Question

14．体积为$18\sqrt{3}$的正三棱锥A-BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R：BC=2：3，点E为线段BD上一点，且DE=2EB，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（　　）

• A． [4π，12π]
• B． [8π，16π]
• C． [8π，12π]
• D． [12π，16π]

Answer 1

分析 先求出BC与R，再求出OE，即可求出所得截面圆面积的取值范围．

解答 解：设BC=3a，则R=2a，
∵体积为$18\sqrt{3}$的正三棱锥A-BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×9{a}^{2}h$=$18\sqrt{3}$，∴h=$\frac{24}{{a}^{2}}$，
∵R²=（h-R）²+（$\sqrt{3}$a）²，∴4a²=（$\frac{24}{{a}^{2}}$-2a）²+3a²，∴a=2，
∴BC=6，R=4，
∵点E为线段BD上一点，且DE=2EB，
∴△ODB中，OD=OB=4，DB=6，cos∠ODB=$\frac{3}{4}$，
∴OE=$\sqrt{16+16-2×4×4×\frac{3}{4}}$=2$\sqrt{2}$，
截面垂直于OE时，截面圆的半径为$\sqrt{16-8}$=2$\sqrt{2}$，截面圆面积为8π，
以OE所在直线为直径时，截面圆的半径为4，截面圆面积为16π，
∴所得截面圆面积的取值范围是[8π，16π]．
故选：B．

点评 本题考查所得截面圆面积的取值范围，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．