Question

已知抛物线y²=8x的焦点F到双曲线C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为

4 5

5

，点P是抛物线y²=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F₁（0，c）的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F₁（0，c）的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3，可得FF₁=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．

解答： 解：抛物线y²=8x的焦点F（2，0），双曲线C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）一条渐近线的方程为ax-by=0，
∵抛物线y²=8x的焦点F到双曲线C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为

4 5

5

，
∴

2a

a2+b2

=

4 5

5

，
∴b=2a，
∵P到双曲线C的上焦点F₁（0，c）的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3，
∴FF₁=3，
∴c²+4=9，
∴c=

5

，
∵c²=a²+b²，b=2a，
∴a=1，b=2，
∴双曲线的方程为

y2

4

-x2=1．
故答案为：

y2

4

-x2=1．

点评：本题主要考查了抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．