Question

设函数f（x）=|x+a|-|x-4|，x∈R
①当a=1时，解不等式f（x）＜2；
②若关于x的不等式f（x）≤5-|a+1|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：①f（x）=|x+1|-|x-4|=

5，x≥4 2x-3，-1＜x＜4 -5，x≤-1

，对x取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，再解即可；
②利用绝对值不等式的几何意义，可得f（x）=|x+a|-|x-4|≤|a+4|，从而将所求转化为解不等式|a+4|+|a+1|≤5，对a的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，再解即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：①∵f（x）=|x+1|-|x-4|=

5，x≥4 2x-3，-1＜x＜4 -5，x≤-1

，
∴当x≥4时，5＜2，这是不可能的；
当-1＜x＜4时，2x-3＜2，解得-1＜x＜

5

2

；
当x≤-1时，-5＜2恒成立，故x≤-1；
综上可得x＜

5

2

，
∴当a=1时，不等式f（x）＜2的解集为（-∞，

5

2

）；
②∵f（x）=|x+a|-|x-4|=|x+a|-|4-x|≤|（x+a）+（4-x）|=|a+4|，
要使f（x）≤5-|a+1|恒成立，须使|a+4|≤5-|a+1|，
即|a+4|+|a+1|≤5，
当a≤-4时，-（a+4）-（a+1）≤5，解得-5≤a≤-4；
当-4＜a＜-1时，a+4-（a+1）=3≤5恒成立，故-4＜a＜-1；
当a≥-1时，a+4+（a+1）=2a+5≤5，解得-1≤a≤0；
综上所述，-5≤a≤0．
∴实数a的取值范围为[-5，0]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查解不等式的运算求解能力，属于中档题．