题目内容

给出以下几个命题：
①由曲线y=x2与直线y=2x围成的封闭区域的面积为
4
3
．
②已知点A是定圆C上的一个定点，线段AB为圆的动弦，若
OP
=
1
2
（
OA
+
OB
），O为坐标原点，则动点P的轨迹为圆；
③把5本不同的书分给4个人，每人至少1本，则不同的分法种数为
A
4
5
•
A
1
4
=480种．
④若直线l∥平面α，直线l⊥直线m，直线l?平面β，则β⊥α．
其中，正确的命题有
 
．（将所有正确命题的序号都填在横线上）
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：先联立两个曲线的方程，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，可判断①；
解答： 解：令x2=2x，解得，x1=0，x2=2．故所求图形的面积为S=∫02（2x）dx-∫02x2dx=4-
8
3
=
4
3
，故①正确；
若
OP
=
1
2
（
OA
+
OB
），则P为AB的中点，则OP⊥AP，则P的轨迹为以AO为直径的圆，故②正确；
把5本不同的书分给4个人，每人至少1本，则不同的分法种数为
C
2
5
•
A
4
4
=240种，故③错误；
若直线l∥平面α，直线l⊥直线m，直线l?平面β，则β与α可能平行也可能相交，故④错误．
故正确的命题有：①②，
故答案为：①②
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了定积分，轨迹方程，排列组合，空间线面关系，难度不大，属于基础题．
练习册系列答案
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半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且满足AB⊥CD，AC⊥AD，AD⊥AB，则S△ABC+S△ACD+S△ADB的最大值为（S为三角形的面积）
 
．
已知不等式（
20
n
-m）•ln（
m
n
）≥0对任意正整数n恒成立，则实数m的取值范围是
 
．
假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张无奖，从此10张奖券中任抽3张，求：
（Ⅰ）中奖的概率P；
（Ⅱ）获得的奖品总价值X不少于期望E（X）的概率．
函数y=
x
x-1
图象与函数y=2cos2
π
4
x（-3≤x≤5）图象所有交点的纵坐标之和
 
．
已知F1，F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
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．
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3
cos2x)i（λ，m，x∈R），且z1=z2．
（1）设λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的值域．
已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为
4
5
5
，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为
 
．

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