Question

已知数列{a_n}满足：当n∈(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]（n，k∈N^*）时，an=(-1)k+1•k，S_n是数列{a_n}的前n项和，定义集合T_m={n|S_n是a_n的整数倍，n，m∈N^*，且1≤n≤m}，card（A）表示集合A中元素的个数，则 a₁₅=

 

，card（T₁₅）=

 

．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：新定义

分析：（1）先根据题中定义，对相应的定义区间进行研究，从而得到数列的第n项，包括第15项；
（2）由数列的第n项，得到数列的前n项和，再考察第n项与前n项和的整除关系，得到本题的结论．

解答： 解：取k=5，则

(k-1)k

2

=10，

k(k+1)

2

=15，15∈（10．，15]，
根据条件：当n∈(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]（n，k∈N^*）时，an=(-1)k+1•k，
∴取k=5，n=15，a15=(-1)5+1×5=5．
由题意：
取k=1，区间(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即为（0，1]，1∈（0，1]，故a₁=1，
取k=2，区间(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即为（1，3]，2，3∈（1，3]，故a₂=-2，a₃=-2，
取k=3，区间(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即为（3，6]，4，5，6∈（3，6]，故a₄=3，a₅=3，a₆=3，
取k=4，区间(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即为（6，10]，7，8，9，10∈（6，10]，故a₇=-4，a₈=-4，a₉=-4，a₁₀=-4，
取k=5，区间(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即为（10，15]，11，12，13，14，15∈（10，15]，故a₁₁=5，a₁₂=5，a₁₃=5，a₁₄=5，a₁₅=5．
又∵定义集合T_m={n|S_n是a_n的整数倍，n，m∈N^*，且1≤n≤m}，
∴T₁₅={n|S_n是a_n的整数倍，n∈N^*，且1≤n≤15}，
当n=1时，S₁=1，a₁=1，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=2时，S₂=1-2=-1，a₂=-2，不符合S_n是a_n的整数倍；
当n=3时，S₃=-3，a₃=-2，不符合S_n是a_n的整数倍；
当n=4时，S₄=0，a₄=3，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=5时，S₅=3，a₅=3，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=6时，S₆=6，a₆=6，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=7时，S₇=2，a₇=-4，不符合S_n是a_n的整数倍；
当n=8时，S₈=-2，a₈=-4，不符合S_n是a_n的整数倍；
当n=9时，S₉=-6，a₉=-4，不符合S_n是a_n的整数倍；
当n=10时，S₁₀=-10，a₁₀=-4，不符合S_n是a_n的整数倍；
当n=11时，S₁₁=-5，a₁₁=5，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=12时，S₁₂=0，a₁₂=5，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=13时，S₁₃=5，a₁₃=5，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=14时，S₁₄=10，a₁₄=5，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=15时，S₁₅=15．a₁₅=5，符合S_n是a_n的整数倍．
符合条件的n有：1，4，5，6，11，12，13，14，15．共有9 个．
∵card（A）表示集合A中元素的个数，
∴card（T₁₅）=9．
故答案为：（1）5；（2）9．

点评：本题考查了数列的通项及前n项和的知识，还考查了新定义的概念的理解和应用．本题还可以利用区间的前后端点差为k，得到数列的规律，从而研究前n项和的规律，解决本题．