Question

已知数列{a_n}满足：当n∈（

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]（n，k∈N^*）时，a_n=（-1）^k+1•k，S_n是数列{a_n} 的前n项和，定义集合T_n={n|S_n是a_n的整数倍，n，m∈N^*，且1≤n≤m}，Card（A）表示集合A中元素的个数，则Card（T₁₅）=

 

，Card（T₂₀₁₄）=

 

．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断,数列的求和,归纳推理

专题：新定义

分析：（1）本题先根据条件对数列的通项进行研究，再推导出前n项和，通过前n项和与通项的整除关系，得到结论；（2）根据题中定义，归纳得到奇数组对应的n符合条件，从而得到本题的答案．

解答： 解：（1）取k=1，区间(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即为（0，1]，1∈（0，1]，故a₁=1，
取k=2，区间(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即为（1，3]，2，3∈（1，3]，故a₂=-2，a₃=-2，
取k=3，区间(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即为（3，6]，4，5，6∈（3，6]，故a₄=3，a₅=3，a₆=3，
取k=4，区间(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即为（6，10]，7，8，9，10∈（6，10]，故a₇=-4，a₈=-4，a₉=-4，a₁₀=-4，
取k=5，区间(

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]即为（10，15]，11，12，13，14，15∈（10，15]，故a₁₁=5，a₁₂=5，a₁₃=5，a₁₄=5，a₁₅=5．
当n=1时，S₁=1，a₁=1，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=2时，S₂=1-2=-1，a₂=-2，不符合S_n是a_n的整数倍；
当n=3时，S₃=-3，a₃=-2，不符合S_n是a_n的整数倍；
当n=4时，S₄=0，a₄=3，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=5时，S₅=3，a₅=3，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=6时，S₆=6，a₆=6，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=7时，S₇=2，a₇=-4，不符合S_n是a_n的整数倍；
当n=8时，S₈=-2，a₈=-4，不符合S_n是a_n的整数倍；
当n=9时，S₉=-6，a₉=-4，不符合S_n是a_n的整数倍；
当n=10时，S₁₀=-10，a₁₀=-4，不符合S_n是a_n的整数倍；
当n=11时，S₁₁=-5，a₁₁=5，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=12时，S₁₂=0，a₁₂=5，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=14时，S₁₄=10，a₁₄=5，符合S_n是a_n的整数倍；
当n=15时，S₁₅=15．a₁₅=5，符合S_n是a_n的整数倍．
符合条件的n有：1，4，5，6，11，12，13，14，15．共有9 个．
∵card（A）表示集合A中元素的个数，
∴card（T₁₅）=9．
（2）∵当n∈（

(k-1)k

2

，

k(k+1)

2

]（n，k∈N^*）时，a_n=（-1）^k+1•
又∵

k(k+1)

2

-

(k-1)k

2

=k
∴数列{a_n}中，有连续k个（-1）^k+1•k，（k∈N^*），
可以进行分组考察，即第1组，1个1；第2组，2个-2；第3组，3个3；第4组，4个-4；第5组，5个5；第6组，6个-6…
∵S_n是数列{a_n} 的前n项和，定义集合T_n={n|S_n是a_n的整数倍，n，m∈N^*，且1≤n≤m}，
∴其中符合条件的n有：1，4，5，6，11，12，13，14，15…
对应的是奇数组：第1组，第3组，第5组…
∵2014=（1+2+3+…+62）+61，
∴符合条件的元素个数有：（1+3+5+7+…+61）+61=

(1+61)×31

2

+61=31×31+61=1022．
故答案为：（1）9；（2）1022．

点评：本题考查了数列的通项和前n项和的知识，还考查了新定义概念的应用．难点是对新定义的准确理解和运用，还要能进行归纳推理．本题的思维量和计算量较大，有难度，属于难题．