Question

已知x，y满足约束条件

x-y-1≤0 2x-y-3≥0

，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在约束条件下取到最小值2

5

时，a²+b²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最小值的条件，利用点到直线的距离即可得到结论．．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，
∴直线的斜率-

a

b

＜0，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当直线y=-

a

b

x+

z

b

经过点A时，直线y=-

a

b

x+

z

b

的截距最小，此时z最小．
由

x-y-1=0 2x-y-3=0

，解得

x=2 y=1

，即A（2，1），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2

5

，
即2a+b=2

5

，
在点P（a，b）在直线2x+y=2

5

，
则原点到直线的距离d=

|2 5 |

12+22

=

2 5

5

=2，
即a²+b²的最小值d²=4，
故答案为：4

点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．