Question

9．已知函数f（x）=ax²+8x+b（a，b为互不相等的正整数），方程f（x）=0的两个实根为x₁，x₂（x₁≠x₂），且|x₁|＜1，|x₂|＜1，若f（1）+f（-1）的最大值与最小值分别为M，m，则M+m的值为50．

Answer 1

分析 由|x₁|＜1，|x₂|＜1知，方程的两根在区间（-1，1）内，f（x）=ax²+8x+b，此函数的图象与x轴的两个交点在区间（-1，1）内，可得，f（-1）＞0，f（1）＞0，且对称轴在区间（-1，1）内，最小值小于0．由此列条件求a+b的最值，进而得到M+m的和．

解答 解：f（x）=ax²+8x+b，
此函数的图象与x轴的两个交点在区间（-1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＞0}\\{f（1）＞0}\\{-1＜-\frac{8}{2a}＜1}\\{\frac{4ab-64}{4a}＜0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b＞8}\\{a+b＞-8}\\{a＞4}\\{ab＜16}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{a+b＞8}\\{a＞4}\\{ab＜16}\\{a，b∈N*}\end{array}\right.$，
∵a，b为互不相等的正整数，
∴a，b可能的取值有（7，2）（8，1）（9，1）（10，1），
（11，1），（12，1），（13，1），（14，1）（15，1）共9个．
∴a+b的最小值是9，最大值为16．
则f（1）+f（-1）=2（a+b）的最大值与最小值分别为M=32，m=18，
可得M+m=50．
故答案为：50．

点评 本题属于一元二次方程根的分布问题，通常用数形结合的方法解决．二次方程根的分布问题，一般考虑图象与x轴的交点问题，对称轴位置问题，顶点位置问题等．