若{an}为等差数列.{bn}为等比数列.设cn=anbn.则我们经常用“错位相减法求数列{cn}的前n项和Sn.记Sn=f(n)．在这个过程中许多同学常将结果算错.为了减少出错.我们可代入n=1和n=2进行检验:计算S1=f(1).检验是否与a1b1相等,再计算S2=f(2).检验是否与a1b1+a2b2相等.如果两处中有一处不等.则说明计算错误．某次数学� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．若{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，设c_n=a_nb_n，则我们经常用“错位相减法”求数列{c_n}的前n项和S_n，记S_n=f（n）．在这个过程中许多同学常将结果算错，为了减少出错，我们可代入n=1和n=2进行检验：计算S₁=f（1），检验是否与a₁b₁相等；再计算S₂=f（2），检验是否与a₁b₁+a₂b₂相等，如果两处中有一处不等，则说明计算错误．某次数学考试对“错位相减法”进行了考查，现随机抽取100名学生，对他们是否进行检验以及答案是否正确的情况进行了统计，得到数据如表所示：

	答案正确	答案错误	合计
检验	35
未检验			40
合计	50		100

（1）请完成上表；
（2）是否有95%的把握认为检验计算结果可以有效地避免计算错误？
（3）在调查的100名学生中，用分层抽样的方法从未检验计算结果的学生中抽取8人，进一步调查他们不检验的原因，现从这8人中任取3人，记其中答案正确的是学生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
附：下面的临界值表供参考

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010
K₀	2.706	3.841	5.024	6.635

（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

分析（1）根据题意，填写列联表即可；
（2）根据表中数据，计算K²，对照临界值得出结论；
（3）根据随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，
写出X的分布列，计算数学期望值．

解答解：（1）根据题意，填写列联表如下；

	答案正确	答案错误	合计
检验	35	25	60
未检验	15	25	40
合计	50	50	100

（2）根据表中数据，计算：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100{×（35×25-15×25）}^{2}}{50×50×60×40}$=$\frac{25}{6}$≈4.167＞3.841，
所以有95%的把握认为检验计算结果可以有效地避免计算错误；
（3）8人中答案正确和答案错误的学生分别有3人和5人，
则从这8人中任取3人，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{5}{28}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$；
X的分布列为：