Question

19．若cosα=-$\frac{4}{5}$，α是第三象限的角，则
（1）求sin（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求tan2α

Answer 1

分析 （1）运用同角的平方关系，可得sinα的值，再由两角和的正弦公式，计算即可得到所求值；
（2）运用同角的商数关系，可得tanα的值，再由二倍角的正切公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）因为cosα=-$\frac{4}{5}$，α是第三象限的角，
可得sinα=-$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\sqrt{1-\frac{16}{25}}$=-$\frac{3}{5}$，
sin（α+$\frac{π}{4}$）=sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$
=（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$；
（2）由（1）可得tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}$=$\frac{3}{4}$，
则tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{3}{4}}{1-\frac{9}{16}}$=$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查同角的基本关系式和二倍角正切公式，以及两角和的正弦公式的运用，考查化简运算的能力，属于中档题．