Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{n}{2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）推导出a_n+1+1=2（a_n+1），从而{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$＜$\frac{{2}^{n}-1}{2•{2}^{n}-1-1}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2（{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{2}$，能$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{n}{2}$（n∈N^*）．

解答 （本小题10分）
解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），…（3分）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$．
∴数列{a_n}的通项公式为${a}_{n}={2}^{n}-1$．…（5分）
证明：（2）∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$＜$\frac{{2}^{n}-1}{2•{2}^{n}-1-1}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2（{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{2}$，n=1，2，…，n，…（8分）
∴：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{n}{2}$（n∈N^*）．   …（10分）

点评 本题考查数列通项公式的求法，考查数列不等式的证明，考查运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．