Question

5．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：a²±2ab+b²=（a±b）²，那么$\sqrt{{a}^{2}±2ab+{b}^{2}}$=|a±b|，那么如何将双重二次根式$\sqrt{a±2\sqrt{b}}$（a＞0，b＞0，a±2$\sqrt{b}$＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（$\sqrt{m}$）²+（$\sqrt{n}$）²=a即m+n=a，且使$\sqrt{m}$•$\sqrt{n}$=$\sqrt{b}$即m•n=b，那么a±2$\sqrt{b}$=（（$\sqrt{m}$）²+（$\sqrt{n}$）²±2$\sqrt{m}•\sqrt{n}$=（$\sqrt{m}±\sqrt{n}$）²
∴$\sqrt{a±2\sqrt{b}}$=|$\sqrt{m}±\sqrt{n}$|，双重二次根式得以化简；例如化简：$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$； Q3=1+2且2=1×2，
∴3+2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{1}$）²+（$\sqrt{2}$）²+2$\sqrt{1}$×$\sqrt{2}$
∴$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$=1+$\sqrt{2}$．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成$\sqrt{a±2\sqrt{b}}$的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n=a，且m•n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；$\sqrt{12+2\sqrt{35}}$=$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$；   
（2）化简：
①$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$；               
 ②$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$；
（3）计算：$\sqrt{3-\sqrt{5}}$+$\sqrt{2+\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案；
（2）将原式转成$\sqrt{16-2\sqrt{60}}$，$\sqrt{16-2\sqrt{60}}$转化成完全平方式，化简即可求得答案．
（3）将原式化简$\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$+$\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$，转成完全平方式，化简即可求得答案．

解答 解：（1）$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
  $\sqrt{12+2\sqrt{35}}$=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}+2×\sqrt{7}×\sqrt{5}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{7}+\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$，
（2）①原式$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$=$\sqrt{9+2\sqrt{18}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}+2×\sqrt{6}×\sqrt{3}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$，
   ②原式$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$=$\sqrt{16-2\sqrt{60}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-2×\sqrt{10}×\sqrt{6}+（\sqrt{6}）^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}-\sqrt{6}）^{2}}$=$\sqrt{10}$-$\sqrt{6}$，
（3）$\sqrt{3-\sqrt{5}}$+$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$+$\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$，
=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$，
=$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$，
故答案为：$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，属于中档题．