Question

19．已知等差数列{a_n}的公差d=2，前n项和为S_n，等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₄，b₃=a₁₃
（1）求a_n，b_n；
（2）记数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₄，b₃=a₁₃．可得${a}_{4}^{2}$=a₁a₁₃，$（{a}_{1}+3×2）^{2}$=a₁（a₁+12×2），解得a₁．再利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）S_n=n（n+2）．可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₄，b₃=a₁₃．
∴${a}_{4}^{2}$=a₁a₁₃，d=2．
∴$（{a}_{1}+3×2）^{2}$=a₁（a₁+12×2），解得a₁=3．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
公比q=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=$\frac{2×4+1}{3}$=3．
∴b_n=3ⁿ．
（2）S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2）．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．