Question

12．过抛物线y²=4x的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为（　　）

• A． 16
• B． 32
• C． 48
• D． 64

Answer 1

分析 设直线AB的方程为y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由弦长公式得|AB|，以-$\frac{1}{k}$换k得|CD|，故所求面积为S=$\frac{1}{2}$|AB||CD|=8（${k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}$+2）即可求最值．

解答 解：设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线CD的斜率为-$\frac{1}{k}$，
直线AB的方程为y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{{2k}^{2}+4}{{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=1$，
由弦长公式得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$×$\sqrt{1+{k}^{2}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$，
以-$\frac{1}{k}$换k得|CD|=4k²+4，
∵AB、CD互相垂直
故所求面积为S=$\frac{1}{2}$|AB||CD|=8（${k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}$+2）≥8（2$\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}+2$）≥32（当k²=1时取等号），
即面积的最小值为32．故选：B

点评 题考查抛物线方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，考查弦长的表达式的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的灵活运用，属于中档题．