Question

14．椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}$=1上存在n个不同的点P₁，P₂，…，P_n，椭圆的右焦点为F．数列{|P_nF|}是公差大于$\frac{1}{5}$的等差数列，则n的最大值是（　　）

• A． 16
• B． 15
• C． 14
• D． 13

Answer 1

分析 （|P_nF|）_min≥|a-c|=$\sqrt{2}$，（|P_nF|）_max≤a+c=3$\sqrt{2}$，|P_nF|=|P₁F|+（n-1）d．再由数列{|P_nF|}是公差大于$\frac{1}{5}$的等差数列，可求出n的最大值．

解答 解：∵（|P_nF|）_min≥|a-c|=$\sqrt{2}$，（|P_nF|）_max≤a+c=3$\sqrt{2}$，||P_nF|=|P₁F|+（n-1）d
∵数列{|P_nF|}是公差d大于$\frac{1}{5}$的等差数列，
∴d=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{n-1}$＞$\frac{1}{5}$，解得n＜10$\sqrt{2}$+1，
则n的最大值为15
故选：B

点评 本题考查椭圆的应用和等差数列的性质，解题时要认真审题，属于中档题．